Richtig gerechnet und doch falsch?

1. Substanzmenge berechnen – aber richtig

Ein klassisches Beispiel aus der Chemie:

„Wie viel Gramm einer Substanz muss ich abwiegen, um eine bestimmte Molarität in einem bestimmten Volumen herzustellen?“

Viele lösen das rechnerisch so:

• Stoffmenge $n=c\cdot V$
• dann $m=M\cdot n$
• dann setzen sie Zahlen ein – bei jedem Schritt neu.

Das funktioniert – aber:

• Es ist umständlich.
• Es verhindert Verallgemeinerung.
• Es liefert kein Formelwerkzeug für spätere Aufgaben.

Besser:

Man kombiniert die beiden bekannten Gleichungen:

$n=\frac{m}{M}$  und  $c=\frac{n}{V}$

Setze $n$ gleich:

$\frac{m}{M}=c\cdot V$

Formel nach der gesuchten Masse $m$ umstellen:

$m=c\cdot V\cdot M$

Fertig ist die Masterformel – sie funktioniert immer, wenn man Molarität, Volumen und molare Masse kennt.

Das ist strukturiertes Denken – kein Zahlenschubserei.
Und das ist etwas, das man nicht mehr sieht, wenn man zu früh Zahlen einsetzt.

Dass die Gleichung so richtig ist, können wir sogar intuitiv erfassen – gerade weil wir sie ohne Zahlen betrachten.

Die molare Masse $M$ ist eine Stoffkonstante. Und in der Chemie nennen wir Konstanten auch wirklich so – weil sie sich typischerweise nicht ändern. Da sind wir recht konsequent.

Aber jetzt wieder ernst:

• Wenn ich die Konzentration $c$ erhöhe, brauche ich bei gleichem Volumen mehr Substanzmasse $m$ .
• Wenn ich das Volumen $V$ erhöhe, brauche ich bei gleicher Konzentration ebenfalls mehr Substanzmasse.

Das ist nicht nur logisch – das lässt sich direkt aus der Gleichung ablesen.
Genau das passiert, wenn man mit Formeln denkt – statt nur zu rechnen.

2. Einheiten sichern das Denken ab

Ein riesiger Vorteil des strukturierten Arbeitens: Einheiten wirken wie eine eingebaute Fehlerkontrolle.

Die Masterformel lautete:

$m=c\cdot V\cdot M$

Zur Kontrolle der Einheiten:

$\text{[mol/L]}\cdot \text{[L]}\cdot \text{[g/mol]}=\text{[g]}$

Passt. Ergibt Gramm. Funktioniert.

Einheiten sind keine Nebensache – sie sind Kontrollinstanz.
Entsteht aus der Einheitenbetrachtung nicht die richtige Einheit, ist das Ergebnis falsch. Punkt.
→ Neu denken!

Dass diese Kontrolle im Schulalltag oft fehlt, zeigt ein typisches Beispiel aus der Mathematik:

Ein Aquarium hat die Maße:
Breite = 1,2 Meter, Tiefe = 4 Dezimeter, Höhe = 80 Zentimeter.

Prima – einfache Rechnung, oder?

Was jetzt im Mathematikunterricht (und ich gestehen, manchmal auch bei mir) passiert, ist Folgendes:

• Alle Maße werden erstmal auf eine gemeinsame Einheit gebracht – z. B. alles in Dezimeter.
• Dann wird gerechnet: 1,2 × 0,4 × 0,8 = 0,384
• Am Ende: „Einheit? Ach so, ja – Meter hoch drei. Also Kubikmeter. Und in Liter?“

Bestenfalls.

Aber während der Rechnung? Keine Einheit weit und breit.
Man geht davon aus, dass das irgendwie schon stimmen wird – solange die Zahlen stimmen.

Nur: Ohne Einheiten weiß niemand, was da überhaupt berechnet wird.
Ob Liter, Kubikmeter oder irgendwas dazwischen – man sieht es nicht.

Wer mit Einheiten rechnet, denkt in Zusammenhängen.
Wer sie ignoriert, rechnet im Blindflug.

3. Denken in Zusammenhängen – am Beispiel der Gasgleichung

Ein Paradebeispiel für strukturelles Denken ist die ideale Gasgleichung:

$p\cdot V=n\cdot R\cdot T$

Die Gaskonstante $R$ ist – wie der Name schon sagt – konstant.
Wenn zusätzlich $n$ (Stoffmenge) und $T$ (Temperatur) konstant bleiben, folgt:

$p\cdot V=\text{konstant}$

Das heißt: Druck und Volumen verhalten sich umgekehrt proportional.
Wenn ich also den Druck erhöhe, muss das Volumen sinken – und umgekehrt.

• Je größer der Druck, desto kleiner das Volumen.
• Je kleiner der Druck, desto größer das Volumen.

Diese Erkenntnis ist nicht neu – sie nennt sich übrigens das Boyle-Mariottesche Gesetz.
Und sie ist direkt aus der Gleichung ableitbar – ohne Zahlen, rein strukturell.

Wer die Gleichung versteht, kann damit denken, nicht nur rechnen.
Und genau das fehlt oft im Mathematikunterricht:

Formeln werden benutzt – aber nicht begriffen.

Man kann damit sogar Vorhersagen treffen:
Was passiert mit dem Volumen, wenn ich bei konstanter Temperatur die Stoffmenge erhöhe?
Oder was passiert mit dem Druck, wenn ich bei konstantem Volumen die Temperatur erhöhe?

Auch das lässt sich direkt an der Struktur der Gleichung ablesen – ohne Rechenschritte, rein logisch.