Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen

Frank Lüttschwager • 30. Oktober 2025

Wenn der Mathe-Lehrkörper mit Parabeln, Flächen und Dosen jongliert – und die Schüler nur noch Stadion, äh, ´schuldigung, Bahnhof verstehen

Mathelehrer jongliert begeistert mit geometrischen Körpern, einer Konservendose und einem Miniatur-Leichtathletikstadion, während seine Schüler verwirrt, gelangweilt oder überfordert zusehen.

Eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen klingt zunächst nach einem besonders komplizierten Spezialfall. In Wahrheit steckt dahinter aber ein sehr klassisches mathematisches Problem: Man möchte etwas optimieren – zum Beispiel Kosten senken oder eine Fläche vergrößern – steht dabei aber unter einer festen Bedingung, die nicht verletzt werden darf.

Ein typisches Beispiel ist die Konservendose. Der Hersteller verkauft den Inhalt, nicht das Blech. Die Dose selbst ist reiner Kostenfaktor. Also stellt sich die Frage: Welche Form der Konservendose spart bei gleichem Volumen am meisten Material und damit Kosten?

Ein weiteres Standardbeispiel ist das Sportstadion. Die Laufbahn muss 400 Meter lang sein, das ist vorgegeben. Gleichzeitig wünschen sich die Fußballer möglichst viel Platz im Innenfeld. Wie konstruiert man also die Bahn, damit die Spielfläche maximal groß wird?

Genau darum geht es: optimieren unter Zwangsbedingungen. Und das ist das Grundmuster jeder Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen.

Von der Aufgabenstellung zur Gleichung

Das, was möglichst groß oder klein werden soll, lässt sich immer in eine mathematische Gleichung übersetzen. Will man das größte Volumen? Dann braucht man zunächst die Volumenformel des betreffenden Körpers. Geht es um Kosten? Dann stellt man

eine Kostenformel auf. Geht es um Flächen? Dann eben eine Flächenformel.

Damit hat man die erste zentrale Gleichung in der Hand – die Extremalbedingung: das, was maximiert oder minimiert werden soll.

Daneben liefert die Aufgabe praktisch immer eine zweite Information, nämlich die Nebenbedingung. Auch diese wird in eine

Gleichung übersetzt.

Und jetzt zeigt sich fast immer dasselbe Bild: Beide Gleichungen enthalten zwei Variablen. Um die Extremalbedingung optimieren zu können, muss man sie aber auf eine Variable zurückführen. Genau hier kommt die Nebenbedingung ins Spiel: Man löst sie nach einer der beiden Variablen auf und setzt diese Darstellung in die Extremalbedingung ein.

Das Ergebnis ist eine saubere Gleichung in nur einer Variablen – die sogenannte Zielfunktion. Ab diesem Punkt ist es „nur noch“ eine ganz normale Extremwertaufgabe, inklusive der vielgeliebten Randwertbetrachtung.

Die Sache mit der Randwertbetrachtung

Um eine Randwertbetrachtung sinnvoll auszuführen, muss man den Definitionsbereich der Zielfunktion kennen. Sonst optimiert man im luftleeren Raum.

Dazu gehört wie immer: Gibt es Rechnungen, die nicht erlaubt sind?

Steht irgendwo eine (gerade) Wurzel, dürfen dort keine negativen Zahlen hineingesteckt werden.
Steht irgendwo ein Logarithmus, sind nur positive Zahlen erlaubt.
Steht die Variable im Nenner, darf dieser Nenner nicht null werden.

Aber es gibt noch eine zweite Quelle für Einschränkungen: die Logik der Aufgabenstellung. Manche Randwerte ergeben sich ganz einfach aus der Situation.

Nehmen wir das Beispiel der Laufbahn im Stadion:

Wenn die beiden Halbkreise schon den gesamten Umfang von 400 Metern beanspruchen, bleibt für die Geraden nichts mehr übrig.
Umgekehrt: Wenn die beiden Geraden schon jeweils 200 Meter lang sind, ist für die Halbkreise kein Rest mehr da.

In beiden Fällen existiert zwar formal eine „Zielfunktion“, aber sie macht außerhalb dieser Grenzen keinen Sinn. Genau deshalb ist die Randwertbetrachtung unverzichtbar: Sie stellt sicher, dass man das Optimum im realistischen Bereich findet – und nicht irgendwo in der Mathematik, wo das Stadion plötzlich aus 400 Metern Gerade ohne Kurven besteht.

Vom lokalen zum globalen Optimum – und zurück zur Aufgabe

Wenn die Zielfunktion einmal aufgestellt ist, wird sie abgeleitet. Erste Ableitung nullsetzen, zweite Ableitung prüfen – fertig. Damit findet man ein lokales Maximum oder Minimum.

Aber damit ist die Sache noch nicht erledigt. Denn: Das globale Optimum kann genauso gut am Rand des Definitionsbereichs liegen. Deshalb ist der Definitionsbereich so wichtig – und deshalb legt man ihn immer sauber fest, wenn er in der Aufgabenstellung nicht ausdrücklich angegeben ist.

Das größte Volumen einer Dose kann rechnerisch im Inneren der Funktion liegen – oder ganz am Rand.
Das größte Fußballfeld kann im Definitionsbereich entstehen oder am Rand.

Darum gilt: Immer beides prüfen – die inneren Extrema und die Randwerte.

Und am Ende der wichtigste Schritt: lest nochmal die Aufgabenstellung.

Bei der Konservendose kann gefragt sein: „Welche Maße hat sie?“ – oder auch: „Wie groß ist die Oberfläche?“
Beim Stadion kann gefragt sein: „Wie lang sind die Geraden?“ (Spoiler: 100 m, denkt kurz nach, warum) – oder: „Wie groß ist die Rasenfläche innen?“

Das ist der Teil, den Schüler eigentlich lieben müssten: Ihr müsst nur die Frage beantworten, die tatsächlich gestellt ist – und nicht mehr.

Rezept: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

0. Skizze anfertigen

Wenn sich die Aufgabe geometrisch deuten lässt: immer eine eigene Skizze anfertigen, oder die gegebene Skizze benutzen.
Punkte, Strecken, Variablen klar benennen und eintragen.
Viele Stolperfallen lösen sich schon beim Zeichnen.

1. Aufgabenstellung lesen

Was soll maximal groß oder minimal klein werden?
Welche Bedingung ist vorgegeben? (z. B. Unter der Bedingung, dass …, Es stehen nur … zur Verfügung,
Es muss gelten …).

2. Extremalbedingung aufstellen

Das zu Optimierende (Fläche, Volumen, Kosten …) in eine Gleichung übersetzen.

3. Nebenbedingung aufstellen

Die Einschränkung (Umfang, Volumen, Strecke …) in eine Gleichung übersetzen.

4. Reduktion – Zusammenführen in einer Funktionsgleichung

Beide Gleichungen enthalten oft zwei Variablen.
Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und einsetzen.
Ergebnis: eine Zielfunktion mit nur einer Variablen.
Definitionsbereich festlegen (logisch und rechnerisch).

5. Optimieren

Zielfunktion ableiten.
Notwendige Bedingung: innere Extremstellen durch Nullsetzen der 1. Ableitung finden.
Hinreichende Bedingung: mit der 2. Ableitung oder über Monotonieverhalten prüfen.

6. Randwerte einbeziehen

Randwerte in die Zielfunktion einsetzen.
Ergebnisse mit den inneren Extremwerten vergleichen → globales Maximum/Minimum bestimmen.
Ist ein Wert größer als das Maximum → globales Maximum.
Ist ein Wert kleiner als das Minimum → globales Minimum.

7. Antwort geben

Aufgabenstellung nochmal (!) lesen.
Gefragt sein können Maße, Flächen, Volumen oder Kosten.
Nur das angeben, was tatsächlich verlangt ist.

Das Rezept - ausführlich

0. Skizze anfertigen

Keine Sorge, wenn du in Kunst eine Zahl ohne Vorzeichen bist. Es reicht völlig, wenn du die Skizze anfertigst – Picasso erwartet niemand. Punkte, Strecken und Variablen klar eintragen, fertig.

1. Aufgabenstellung lesen

Zuerst klären: Was soll maximiert/minimiert werden (Fläche, Volumen, Kosten, Zeit …)? Unter welcher Bedingung (fester Umfang, vorgegebene Menge, Materialgrenze …)?

Typische Signalformeln in Texten: „unter der Bedingung, dass …“, „es stehen nur … zur Verfügung“, „es muss gelten …“. Ohne diese beiden Infos gibt es keine Extremwertaufgabe, nur Rätsel.

2. Extremalbedingung aufstellen

Übersetze das zu Optimierende in eine Gleichung: Fläche F, Volumen V, Kosten K …

Beispiele: F=a b, O = 2 π r² + 2 π r h (Zylinderoberfläche)

Diese Gleichung heißt hier Extremalbedingung – sie ist das Zielobjekt der Optimierung.

In der Aufgabenstellung erkennst du sie an Formulierungen wie:

„… soll maximal werden“
„… so, dass die Fläche möglichst groß wird“
„… das Volumen soll möglichst klein sein“
„… die Kosten sollen minimiert werden“
„… finde die Form mit dem geringsten Materialverbrauch“
„… berechne die Abmessungen, bei denen … am größten/kleinsten ist“

👉 Merken: Immer wenn Superlative oder Wörter wie „minimal“, „maximal“, „größtmöglich“, ... auftauchen – steckt die Extremalbedingung drin.

3. Nebenbedingung aufstellen

Die Nebenbedingung legt den Rahmen fest, in dem optimiert werden darf. Sie liefert also die zweite Gleichung der Aufgabe.

Beispiele:

U = 2a + 2b (Umfang ist festgelegt)
V = π r² h (Volumen einer Dose ist vorgegeben)

In der Aufgabenstellung erkennst du die Nebenbedingung an Formulierungen wie:

„… unter der Bedingung, dass …“
„… bei festem Umfang/Volumen/Material …“
„… es stehen nur … zur Verfügung“
„… es muss gelten …“
„… die Gesamtlänge beträgt …“
„… die Summe darf … nicht überschreiten“

👉 Merken: Die Nebenbedingung schränkt die Freiheit ein. Sie sorgt dafür, dass am Ende nur eine Variable übrig bleibt – und die Zielfunktion untersuchbar wird.

4. Reduktion – Zusammenführen in einer Funktionsgleichung

Meist enthalten Extremalbedingung und Nebenbedingung zwei Variablen. Damit lässt sich aber nicht rechnen, solange beide gleichberechtigt in der Gleichung stehen.

Darum:

Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf (meist die einfachere). Wenn die Zielfunktion "blöd" aussieht, versuche die Nebenbedingung nach der anderen Variable aufzulösen.
Setze diesen Ausdruck in die Extremalbedingung ein.

So entsteht die Zielfunktion mit nur einer Variablen. Versuche dir zu erklären, was die Zielfunktion im Sachzusammenhang der Aufgabenstellung beschreibt!

Das Volumen, wenn man nur mit dem Radius spielt; die Fläche, wenn man nur eine Länge variiert, ...

Diese Funktion ist der Schlüssel: Nur sie lässt sich mit den Mitteln der Analysis (Ableitung, Nullstellen, Monotonie) auf Maxima oder Minima untersuchen.

Wichtig: Schon an dieser Stelle unbedingt den Definitionsbereich festlegen!

Mathematische Einschränkungen: keine negativen Radikanden, Nenner ≠ 0, Logarithmus nur mit positiven Argumenten.
Sachliche Einschränkungen: Längen, Flächen, Volumen müssen ≥ 0 sein.
Logik der Aufgabe: Wenn der Kreisumfang schon alle 400 m verbraucht, bleiben für die Geraden eben 0 m übrig.

Nur innerhalb dieses Bereichs lohnt sich später die Optimierung. Alles andere wandert in die Rundtonne -> Formulierung: Sinnlos, liegt außerhalb vom Definitionsbereich.

👉 Merken: Ohne Reduktion bleibt es ein Gleichungssystem. Mit Reduktion hast du eine einzige Zielfunktion, die den ganzen Zusammenhang beschreibt.

5. Optimieren

Jetzt kommt der Teil, den ihr schon kennt: Analysis. Die Zielfunktion Z ist gefunden, der Definitionsbereich ist geklärt – also volle Konzentration aufs Rechnen.

Erste Ableitung bilden:
Setze Z’(x)=0, um die Kandidaten für Extremstellen zu finden. Das ist die notwendige Bedingung.
Zweite Ableitung bilden:
Prüfe mit Z’’(x), ob es sich um ein Maximum (Z’’(x)<0) oder ein Minimum (Z’’(x)>0) handelt. Das ist die hinreichende Bedingung.
Monotonie im Hinterkopf behalten:
Wenn Z’(x) gar keine Nullstelle im Definitionsbereich hat, dann ist die Funktion streng monoton.
Das bedeutet: keine innere Extremstelle → das Optimum kann nur am Rand liegen.

👉 Merken: Das Ableiten liefert die Kandidaten – entschieden wird aber erst im Vergleich mit den Randwerten.

6. Randwerte einbeziehen

Nachdem die inneren Extremstellen geprüft sind, kommt der zweite Schritt: Randwerte berechnen.

Randpunkte aus dem Definitionsbereich einsetzen:
Setze die kleinste (linker Definitionsrand) und die größte (rechter Definitionsrand) zulässige Zahl für x in die Zielfunktion ein.
Vergleich:
Vergleiche diese Werte mit den inneren Extremstellen.
Größer als alle anderen Werte → globales Maximum.
Kleiner als alle anderen Werte → globales Minimum.

Beispiel: Wenn die Zielfunktion einer Rechteckfläche streng fallend mit zunehmendem x kleiner wird, dann liegt das Maximum automatisch am linken Rand und das Minimum am rechten Rand.

👉 Merken: Lokale Extrema können täuschen – erst die Randwerte zeigen, wo das globale Optimum liegt.

7. Antwort geben

Am Ende entscheidet nicht die Rechnung, sondern die Fragestellung.

Lies die Aufgabe nochmal (!) genau: Wird nach den Maßen (z. B. Höhe, Radius, Seitenlängen) gefragt oder nach dem Wert (Fläche, Volumen, Kosten)?
Ergänze unbedingt Einheiten (m, cm², Liter, € …).
Prüfe, ob das Ergebnis logisch zur Skizze passt (eine Höhe von −3 cm wäre Unsinn).

👉 Merken: Nicht alles, was man berechnet, muss auch abgegeben werden. Nur die Antwort, die tatsächlich verlangt ist, zählt. Du kannst gerne auch mehr berechnen, aber in der Klausur geht dir die Zeit aus.

Beispiel

Aufgabe: Rechteck unter einer Parabel – mit Randprüfung

Gegeben f(x) = x ² − 4x + 5 und die Senkrechte x = 6; im ersten Quadranten liegt ein achsenparalleles Rechteck mit unterer Seite auf der x-Achse, rechter Seite auf x = 6 und linker oberer Ecke A(x | f(x)) auf dem Graphen von f – bestimme die Koordinaten von A, für die die Rechtecksfläche maximal ist.

0. Skizze vorbereiten – Scheitelpunkt zuerst

Bevor gerechnet wird: in die Scheitelpunktform umwandeln und den Scheitel einzeichnen. Viele greifen hier fälschlich zur pq-Formel – die bringt bei einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb der x-Achse keine Nullstellen und führt in die Irre.

Gegeben: f(x) = x ² − 4x + 5

f(x) = x ² − 4x + 5 = x ² - 4x + 4 - 4 + 5 = (x − 2) ² + 1

Scheitelpunkt: S(2 | 1). Die Parabel ist nach oben geöffnet und liegt vollständig oberhalb der x-Achse (Minimalwert f(2)=1).

Skizzenhinweise:

Achsenschnittpunkte der Skizze markieren (y-Achse bei f(0)=5; x-Achse wird nicht geschnitten).
Die Senkrechte x = 6 einzeichnen (rechte Rechteckkante).
Das Rechteck achsenparallel eintragen: unten auf der x-Achse, rechts auf x=6, linke obere Ecke auf dem Graphen.

Parabel mit Scheitelpunkt S(1|2) und der Geraden x=6, als Ausgangsskizze für eine Extremwertaufgabe

Hier auf der Webseite ist es natürlich eine Zeichnung – sieht einfach besser aus. In der Klausur reicht selbstverständlich eine Skizze, um den Vorgang zu verstehen.

Und eine Skizze kann selbst jemand erstellen, der in Kunst eine Zahl ohne Vorzeichen ist.

1. Extremalbedingung aufstellen

In die Skizze wird jetzt das Rechteck eingetragen.

Die Seiten werden mit a und b beschriftet – die ganz klassische Notation.

Die Fläche des Rechtecks erhält das Symbol F – ausnahmsweise nicht A, weil A als Punkt bereits vergeben ist – denn sie beschreibt die Größe, die wir untersuchen wollen.

Damit gilt:

F(a, b) = a · b

Das ist unsere Extremalbedingung – sie beschreibt das, was möglichst groß oder klein werden soll. In diesem Beispiel also die Fläche F des Rechtecks.

Parabel f(x) = x² − 4x + 5 mit einem Rechteck im ersten Quadranten. Die linke obere Ecke A liegt auf dem Graphen, die rechte Seite auf der Geraden x = 6. Die Punkte A, B, C, D sind beschriftet.

In der Zeichnung ist das Rechteck jetzt eingezeichnet. Der Punkt A(x | f(x)) liegt auf dem Graphen der Parabel – das ist also die linke obere Ecke.

Von dort geht es senkrecht nach unten zur x-Achse, zum Punkt B(x | 0). Die rechte Seite endet bei der Geraden x = 6, dort liegen die Punkte C(6 | 0) und D(6 | f(x)).

Parabel f(x) = x² − 4x + 5 mit einem Rechteck unter dem Graphen.
Die linke obere Ecke liegt auf der Parabel, die rechte Seite auf der Geraden x = 6.
Die Seiten des Rechtecks sind mit f(x) und 6 − x beschriftet, die Punkte A, B, C, D sind markiert.

2. Nebenbedingung formulieren

Wenn man sich die Beschriftungen in der Zeichnung anschaut, erkennt man sofort, wie die Nebenbedingungen entstehen:

Die Strecke vom Ursprung bis zum Punkt B ist x Einheiten lang. Damit bleibt für die untere Seite des Rechtecks, also BC, nur noch die Länge 6 − x übrig.

Die Höhe des Rechtecks ergibt sich aus dem Funktionswert an der Stelle x – sie ist also f(x).

Damit gilt:

a = f(x)
b = 6 − x

Diese beiden Beziehungen verbinden die Seitenlängen des Rechtecks mit der Parabel und der Begrenzung bei x = 6. Das sind unsere Nebenbedingungen.

3. Zielfunktion aufstellen

Wir haben jetzt zwei Nebenbedingungen, die uns sagen, wie die Seiten des Rechtecks zusammenhängen:

a = f(x) und b = 6 − x.

Diese beiden Beziehungen setzen wir in unsere Extremalbedingung

F(a, b) = a · b

ein.

Damit hängt die Fläche F nur noch von x ab – die zweite Variable fällt weg:

F(x) = f(x) · (6 − x)

Da f(x) = x² − 4x + 5 ist, ergibt sich:

F(x) = (x² − 4x + 5) · (6 − x)

Diese Funktion muss ausmultipliziert werden.

Ja, das ist lästig – aber die Produktregel kommt erst später im Unterricht. Bis dahin müsst ihr euch noch ohne sie durchbeißen.

Macht euch aber klar, was ihr hier jetzt habt:

Ihr habt eine Funktion F(x), die – in Abhängigkeit von der Lage der Punkte A und D und damit auch des Punktes C – die Fläche des Rechtecks beschreibt, wenn ihr nur die Variable x verändert.

4.1 Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich ergibt sich hier direkt aus der Aufgabenstellung – nicht aus einer komplizierten Rechnung.

Das Rechteck liegt vollständig im ersten Quadranten. Damit ist die linke Kante auf x = 0 festgelegt.

Die rechte Kante liegt auf der Geraden x = 6, das ist gleichzeitig die rechte Grenze des Definitionsbereichs.

Damit ergibt sich für die Funktion der Fläche F(x) der Definitionsbereich:

D = [0 ; 6]

Auch wenn die Flächenfunktion an den Rändern in manchen Aufgaben Nullstellen haben kann, nehmen wir die Randwerte in der Regel mit.

Das ist einfach sauberer zu berechnen – niemand möchte ernsthaft den Grenzwert für x → 0 oder x → 6 bestimmen, wenn die Fläche dort ohnehin gegen null läuft.

Aber:

Wenn die Mathematik Einspruch erhebt – zum Beispiel, weil an einem Rand die Stelle nicht definiert ist – dann wird der Rand selbstverständlich ausgeschlossen.

Schlussendlich hat die Mathematik immer das letzte Wort bei der Wahl des Definitionsbereichs – Bequemlichkeit hin oder her.

5. Ableitungen – notwendige Bedingung für Extrema

Wir arbeiten jetzt mit der ausmultiplizierten Zielfunktion:

$F (x) = - x^{3} + 10 x^{2} - 29 x + 30$

Um mögliche Extremstellen zu finden, brauchen wir die erste Ableitung:

$F^{'} (x) = - 3 x^{2} + 20 x - 29$

Die notwendige Bedingung für Extrema lautet:

$F^{'} (x) = 0$

Damit entsteht eine quadratische Gleichung, die sich ganz klassisch mit der Mitternachtsformel lösen lässt. Nach dem Einsetzen und Kürzen erhält man:

$x_{1} = \frac{10 - \sqrt{13}}{3} x_{2} = \frac{10 + \sqrt{13}}{3}$

Das sind übrigens schon richtige Ergebnisse. Schließlich gehört √13 zur Zahlenmenge der irrationalen Zahlen.

Wer unbedingt möchte, kann natürlich auch die Dezimalzahl-Taste am Taschenrechner bemühen und bekommt:

$x_{1} \approx 2,13 x_{2} \approx 4,54$

Aber nur zur Erinnerung:
Dezimalzahlen sind nicht „richtigere“ Zahlen. Sie sind nur gerundete Annäherungen – die Genauigkeit ist jetzt weg.

5.1 Hinreichende Bedingung für Extremstellen

Die notwendige Bedingung hat uns zwei Verdächtige geliefert – $x_{1}$ und $x_{2}$ . Jetzt prüfen wir, ob einer davon ein Maximum oder Minimum ist. Dazu verwenden wir die zweite Ableitung:

$F'' (x) = - 6 x + 20$

Wir setzen beide Werte ein:

$F'' (\frac{10 - \sqrt{13}}{3}) = - 6 \cdot \frac{10 - \sqrt{13}}{3} + 20$

$F'' (x_{1}) = - 20 + 2 \sqrt{13} + 20 = 2 \sqrt{13} > 0$

→ also Minimum. Suchen wir nicht – weg damit. Oder netter ausgedrückt: "Im Sachkontext sinnlos."

Und ja – $F'' (x)$ ist hier größer als 0.
Das bedeutet: Wir haben einen Tiefpunkt. Warum?
Tiefpunkte sind wirklich immer nach oben gekrümmt – oder, wenn ihr’s lieber hört: „linksgekrümmt“.
Wirklich. Immer!

$F'' (\frac{10 + \sqrt{13}}{3}) = - 6 \cdot \frac{10 + \sqrt{13}}{3} + 20$

$F'' (x_{2}) = - 20 - 2 \sqrt{13} + 20 = - 2 \sqrt{13} < 0$

→ also Maximum. Damit arbeiten wir gleich weiter.

Und jetzt mal ehrlich:
Traut euch, das auszumultiplizieren. In den allermeisten Fällen ist es sogar ohne Taschenrechner einfacher – und schneller sowieso. Ist doch nur Algebra.

5.2 Fläche an der inneren Maximalstelle

Wir setzen die gefundene Maximalstelle $x_{2}$ in die Zielfunktion ein, um die zugehörige Fläche zu bestimmen:

$F (x_{2}) = (x^{2} - 4 x + 5) \cdot (6 - x)$

Da $x_{2}$ der größere der beiden Werte ist, gilt:

$x_{2} = \frac{10 + \sqrt{13}}{3}$

Das genaue Ergebnis bleibt in symbolischer Form stehen – es ist völlig korrekt so:

$F (x_{2}) = ({\frac{10 + \sqrt{13}}{3}}^{2} - 4 · \frac{10 + \sqrt{13}}{3} + 5) \cdot (6 - \frac{10 + \sqrt{13}}{3})$

Wer es numerisch möchte, darf den Taschenrechner bemühen – das Ergebnis liegt bei etwa F(x₂) ≈ 18,5 FE.

Aber auch hier gilt: Symbolisch ist das Ergebnis richtiger als jede gerundete Zahl.

5.2 Fläche an der inneren Maximalstelle

Setzt man die gefundene innere Maximalstelle in die Funktion ein, liefert der Taschenrechner eine Fläche von etwa 10,9 FE – das ist die größte Fläche innerhalb des Definitionsbereichs.

Aber: Liefert sie auch die größte Fläche insgesamt?

6. Randwerte prüfen

Zum Schluss prüfen wir die Randwerte – also die Flächen am linken und rechten Rand des Definitionsbereichs.
Dazu setzen wir die beiden Werte $x = 0$ und $x = 6$ in unsere Flächenfunktion $F (x)$ ein.

$F (0) = 30 und F (6) = 0$

Ganz rechts bei $x = 6$ fallen die Punkte A und B bzw. D und C aufeinander. Das Rechteck wird zur Linie – und eine Linie hat nun einmal keinen Flächeninhalt.

Am linken Rand bei $x = 0$ dagegen lässt sich schon aus der Skizze erkennen: Dort entsteht eine Fläche von 30 Flächeneinheiten.

Damit liegt die global größte Fläche bei $x = 0$ .

7. Antwort geben

Jetzt sind wir am Ziel – aber lies zuerst nochmal die Aufgabenstellung. Die meisten verlieren sie unterwegs aus dem Blick, sobald das Rechnen beginnt.

Gesucht waren die Koordinaten des Punktes A, der auf dem Graphen der Funktion f liegt, wenn das Rechteck den maximalen Flächeninhalt hat.

Wir haben herausgefunden, dass das Maximum am linken Rand des Definitionsbereichs liegt, also bei x = 0.

Damit gilt:

A(0|f(0)) und damit A(0|5).

Und zum Schluss – ganz wichtig:

Vergesst den Antwortsatz nicht!

Wenn’s eine Lach- und Sachgeschichte ist: Antwortsatz (!), nicht Antwortaufsatz. Keep it short and sweet.

Wenn du dich bis hierher durch die Rechenorgie gekämpft hast: Glückwunsch.

Entweder bist du tapfer – oder verzweifelt.

👉 Hier geht’s zu meiner Nachhilfe.

Ja, auch Mathe darf mal Spaß machen.

Transparenzhinweis:

Niemand hat die Absicht, einen Blog über Extremwertaufgaben zu schreiben. Die Aushilfe in der Rudelnachhilfe tut’s ja nicht – also bleibt’s wieder an mir hängen.

Ob ich das richtig erkläre? Das sollen andere beurteilen.

Und wie immer: ChatGPT hat meine Anweisungen geschrieben, Sora meine Ideen gezeichnet – und ich hab nachgebessert, bis es gepasst hat.
Nur die Funktionsgrafen, Skizzen und Zeichnungen – die sind von mir. Handskizziert, ähem, gecorrelt. Wie’s sich gehört.

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